فرض کنیم O مرکز دایره باشد در آن موقع OA=OB=OC
به این ترتیب OAB و OBC مثلث متساوی الساقین خواهند بود.در نتیجه زوایای OCB=OBC و BAO=ABO.
فرض کنیم Y=BAO و X=OBC ، چون جمع زوایای داخلی مثلث برابر 180 درجه است پس

2Y+Z=180

2X+Q=180

همچنین میدانیم Z+Q=180 .حال اگر دو رابطه اول را با هم جمع و رابطه سوم را از آنها کم نماییم خواهیم داشت:

2Y+Z+2X+Q-(Z+Q)=180

پس خواهیم داشت:

Z+Q=90

تالس اولین کسی نبود که این قضیه را کشف کرد قبل از او مصریان و بابلیان این قضیه را میدانستند ولی آنها نتوانسته بودند اثباتی برای آن بیان کنند. چون این قضیه اولین بار توسط تالس به اثبات رسید به نام او نیز معروف شد.البته تالس با استفاده از تعریف مثلث متساوی الساقین و نیز علم به این موضوع که جمع زوایای یک مثلث، 180 درجه است ،این قضیه را اثبات کرد.

ویژگیهای هندسی مثلث

با دانستن خصوصیات بعضی از خطوط مانند ارتفاع یا عمود منصف و یا میانه میتوانیم به نتایج جالبی در مورد دست پیدا کنیم. برخی از این نتایج را بیان میکنیم:
اگر بر سه ضلع مثلث خطوطی را عمود میکنیم به طوریکه این خطوط اضلاع را نصف نمایند.(در واقع عمود منصف اضلاع را رسم میکنیم)در این صورت محل برخورد این سه خط، مرکز دایره ای خواهد بود که مثلث را احاطه میکند . به این دایره، دایره محاطی گویند.این دایره طوری رسم میشود که از سه راس مثلث عبور کند.
طبق قضیه فیثاغورث اگر مرکز دایره محاطی روی یکی از اضلاع قرار گیرد آنگاه زاویه مقابل آن ضلع قائم خواهد بود.به عبارتی دیگر مثلث ما قائم الزاویه خواهد بود. اگر مرکز دایره درون مثلث باشد ،مثلث ما یک مثلث حاده خواهد بود و اگر بیرون مثلث باشد، مثلث از نوع منفرجه خواهد بود.
ارتفاع مثلث خط راستی است که از یک راس مثلث عبور کرده و بر ضلع مقابل آن راس عمود میشود.ضلعی را که ارتفاع بر آن عمود است را قاعده مثلث گویند.طول ارتفاع ، فاصله بین راس و قاعده نظیر ارتفاع است.اگر سه ارتفاع مثلث را رسم کنیم این سه ارتفاع همدیگر را در داخل مثلث قطع میکنند مگر در حالتی که مثلث ،منفرجه باشد.

محل برخورد نیمسازهای مثلث مرکز دایره محیطی است.

نیمساز یک زاویه از مثلث خط راستی است که از یک راس مثلث گذشته و آن زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم کند.
اگر نیمسازهای سه زاویه مثلث را رسم کنیم این خطوط در نقطه ای درون مثلث همدیگر را قطع خواهند کرد.این نقطه مرکز دایره محیطی مثلث خواهد بود.این دایره درون مثلث قرار دارد به طوریکه اضلاع مثلث، خطوطی مماس بر دایره هستند.

میانه یک مثلث خط راستی است که از راس مثلث گذشته و ضلع مقابل آن را به دو قسمت مساوی تقسیم میکند. سه میانه مثلث یکدیگر را در نقطه ای به نام مرکز مثلث قطع میکنند البته این نقطه مرکز ثقل مثلث نیز میباشدهمچنین این نقطه هر میانه مثلث را به نسبت 1 به 2 تقسیم میکند به طوریکه فاصله میان راس مثلث تا این نقطه دو برابر فاصله این نقطه تا نقطه میانی ضلع مقابل راس است.

دایره های محاطی داخلی و خارجی یک مثلث

یک مثلث (سیاه) با دایره داخلی (بنفش)، دوایر خارجی (آبی)، نیمسازهای زوایای داخلی (قرمز) و نیمسازهای زوایای خارجی (سبز)

دایره های محاطی داخلی و خارجی یک مثلث

در هندسه، دایره محاطی داخلی یک مثلث بزرگترین دایرهای است که آن مثلث میتواند در بر بگیرد؛ این دایره سه ضلع آنرا لمس مینماید ( بر آنها مماس میباشد). مرکز دایره محاطی مرکز داخلی مثلث نامیده میشود. یک دایره محاطی خارجی مثلث، یک دایره در خارج مثلث است که بر یکی از اضلاع مثلث و امتداد دو ضلع دیگر مماس باشد. هر مثلث دارای سه دایره محاطی خارجی متمایز، که هر کدام بر یکی از اضلاع مثلث مماس میباشد.

مرکز دایره محاطی داخلی بر روی تقاطع نیمسازهای زوایای داخلی قرار دارد. مرکز یک دایره محاطی خارجی بر روی تقاطع نیمساز یک زاویه داخلی و نیمسازهای خارجی دو زاویه دیگر قرار دارد. از این رو، استنباط میگردد که مرکز دایره محاطی داخلی و سه مرکز دایره های محاطی خارجی یک سیستم چهارمرکزی (orthocentric) را تشکیل میدهند.

شعاع این دوایر ارتباط نزدیکی با سطح یک مثلث دارد. اگر S سطح مثلث و اضلاع آن b ،a و c باشند،

شعاع دایره داخلی ( که "شعاع داخلی" نیز گفته میشود) برابر است با: (S/(2(a+b+c).

شعاع دایره خارجی در سمت a برابر است با: (S/(2(-a+b+c)،

برای دایره در سمت b برابر است با: (S/(2(a-b+c)

و برای دایره در سمت c برابر است با: (S/(2(a+b-c).

از این روابط درمیابیم که دوایر خارجی از دایره داخلی بزرگتراند و بزرگترین دایره خارجی، دایره ای است که به بزرگترین ضلع چسبیده است.

Triangle with incircle, contact triangle and Gergonne point

مثلث با دایره داخلی (سیاه), مثلث تماس (قرمز)، نقطه جرگونه (سبز)

دایره نه نقطه ای مثلث بر سه دایره خارجی و همچنین دایره داخلی مماس میباشد. نقطه فورباخ(Feuerbach) روی دایره داخلی قرار دارد.

با علامت گذاری رئوس مثلث با B، A و C و سه نقطه تماس دایره داخلی و مثلث با T_B، T_A و T_C (که T_A روبروی A قرار داشته و به همین ترتیب بقیه)، مثلث T_AT_BT_C مثلث تماس ABC نامیده میشود. دایره داخلی ABC یک دایره محیطی بر T_AT_BT_C میباشد. سه خط BT_B ، AT_A و CT_C در یک نقطه

اعداد مثلثی

اعداد مثلثی

1، 3، 6، 10، 15، 21 و ... بنظر شما این اعداد چه ویژگی مشترکی دارند؟ اگر دست به قلم نشویم و شکل نکشیم و آزمایش نکنیم، فهمیدن ارتباط میان آنها کمی دشوار است. به این شکل دقت کنید مشکل شما حل خواهد شد. به اعداد موجود در این سری، اعداد مثلثی می گوییم.
1 = 1
3= 1+2
6= 1+2+3
10= 1+2+3+4
15= 1+2+3+4+5
21= 1+2+3+4+5+6
. . .

اما شکل اول یک ایده جدید به ما می دهد که می توانیم این اعداد را همانند پاراگراف بالا نیز تفسیر کنیم.

به بیان دیگر می توان گفت که هرعدد مثلثی تشکیل شده است از حاصل جمع یکسری از اعداد متوالی طبیعی. به این معنی که اولین عدد مثلثی مساوی است با مجموع یک عدد از اعداد طبیعی، دومین معادل است با مجموع دو عدد از اعداد طبیعی، سومین معادل است با مجموع سه عدد از اعداد طبیعی و ... و بالاخره n امین عدد مثلثی معادل است با مجموع n عدد از اعداد طبیعی که اگر ریاضیات دبیرستان را هنوز فراموش نکرده باشید بخاطر خواهید آورد که مقدار این عدد معادل n(n+1)/2 خواهد بود. (یک تصاعد حسابی ساده)

مجموع دو عدد مثلثی متوالی

مجموع دو عدد مثلثی متوالی اگر هر دو عدد پشت سرهم در سری اعداد مثلثی را با هم جمع کنیم حاصل جمع یک عدد مربع می شود. مثلا" 1+3=4 یا 3+6=9 یا 6+10=16 و ... البته دلیل آن ساده است به شکل دوم توجه کنید و ببینید که چگونه دو مثلث قرمز و سبز روی هم تشکیل یک مربع را می دهند. (سعی کنید با استدلال ریاضی هم این موضوع را ثابت کنید، ساده است از همان رابطه بالا استفاده کنید.)

مطلب اخیر اغلب بصورت قضیه مربع هر عدد طبیعی برابر است با مجموع دو عدد مثلثی متوالی نیز مطرح می شود.

مستطیل

در هندسه، مستطیل، یک جهارضلعی با زوایای قائم است.همچنین در یک مستطیل اضلاع روبرو دارای طولهای مساوی هستند.یک مربع نوع خاصی از مستطیل است که دارای چهار ضلع مساوی می باشد.
یک مربع ،میتواند هم یک مستطیل و هم یک متوازی الاضلاع باشد. ولی عکس این مطلب برقرار نیست.
در یک مستطیل یک جفت از اضلاع را که طویل ترند را طول مستطیل و جفت دیگر اضلاع را که کوتاهترند را عرض مستطیل نامند.
مساحت یک مستطیل برابر از ضرب اندازه طول مستطیل در عرض آن حاصل میشود.هر مستطیل دارای دو قطر است که اندازه این قطرها از فرمول زیر محاسبه میشود:(a طول مستطیل وb عرض آن است)
 

چند ضلعی

مثلث، مربع، و پنج ضلعی نمونه ای از چند ضلعی ها هستند. در یک چند ضلعی منتظم، ضلعها طول مساوی دارند و اندازه زوایای داخلی نیز مساوی است.هر قدر تعداد اضلاع یک چند ضلعی منتظم بیشتر باشد، بیشتر شبیه دایره خواهد بود. دو نوع چند ضلعی وجود دارد: کوژ و کاو.
در چند ضلعی کوژ همه گوشه ها رو به بیرونند.در چند ضلعی کاو یک یا چند گوشه رو به داخلند.